Докажи теорему Пифагора разными способами
Способ 1. Геометрический доказательство:
Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами a, b и гипотенузой c. Тогда мы можем разрезать квадрат со стороной c на два подобных прямоугольных треугольника и квадраты со сторонами a и b, как показано на рисунке:
![image.png](attachment:image.png)
Пусть S1 обозначает площадь квадрата со стороной a, S2 - площадь квадрата со стороной b, а S3 - площадь квадрата со стороной c. Тогда:
S1 + S2 = S3
Но также мы можем выразить S1, S2 и S3 через длины сторон a, b и c:
S1 = a^2, S2 = b^2, S3 = c^2
Таким образом, мы получаем:
a^2 + b^2 = c^2
Это и есть теорема Пифагора.
Способ 2. Алгебраическое доказательство:
Изобразим также прямоугольный треугольник со сторонами a, b и гипотенузой c. Мы знаем, что угол между гипотенузой и стороной a равен углу между гипотенузой и стороной b (так как они обе являются противолежащими катетами для разных углов), поэтому угол между сторонами a и b также является прямым. Тогда мы можем использовать теорему косинусов:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)
где C - угол между сторонами a и b. Но мы знаем, что C равен 90 градусам, поэтому cos(C) = 0, и мы получаем:
c^2 = a^2 + b^2
Это и есть теорема Пифагора.
Способ 3. Доказательство через подобие:
Рассмотрим два подобных треугольника со сторонами a, b и c и со сторонами k*a, k*b, k*c соответственно, где k - произвольный масштабный коэффициент. Тогда по теореме Пифагора мы имеем:
(a*k)^2 + (b*k)^2 = (c*k)^2
Разделим обе части на k^2:
a^2 + b^2 = c^2
Таким образом, мы опять же получаем теорему Пифагора.